Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, тупой угол которого равен 120°. Боковая грань пирамиды, содержащая основание этого треугольника, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом 60°. Высота пирамиды равна 9√3см. Найдите объем пирамиды.

Ответ:

Поскольку угол в основании равнобедренного треугольника равен 120°, то остальные углы равны 30°. Обозначим основание треугольника как ABC, где AB = AC. Тогда угол между боковой гранью и гранью с основанием AB равен 60°, а угол между боковой гранью и гранью с основанием BC равен 30°. Пусть точка D лежит на высоте из вершины пирамиды и на грани с основанием AB.

Треугольник ABD — равнобедренный, поскольку AB = AC и BD — высота треугольника. Угол между BD и боковой гранью равен 60°, поэтому угол между AD и этой гранью равен 30°. Аналогично, угол между CD и боковой гранью также равен 60°, но тогда угол между CD и гранью с основанием BC равен 30°. Таким образом, мы получаем, что треугольники ABD и CBD равны, и равными являются также треугольники ABC и ACD.

Теперь мы можем найти высоту равнобедренного треугольника ABC: $h = \frac{AB}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{AC}{2} \cdot \sqrt{3}$. Подставив в выражение для объема пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{ABC} h$, где $S_{ABC}$ — площадь основания, получим:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{AB^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{AB}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{AB^3 \cdot \sqrt{3}}{36}$

Осталось найти длину ребра пирамиды. Рассмотрим треугольник ABC: AC = 2ABsin(30°) = AB, поэтому треугольник ABC — равносторонний, а ребро пирамиды равно AB. Тогда:

$V = \frac{AB^3 \cdot \sqrt{3}}{36} = \frac{(AB \cdot AB^2) \cdot \sqrt{3}}{36} = \frac{(V_{\text{тетраэдра}}\cdot 3)}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$

Ответ: объем пирамиды равен $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ кубических сантиметров.