3. Об’єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 256, а висота піраміди – 6. Знайти діагональ основи піраміди.

Ответ:   d = √(a^2 + b^2) = √(12^2 / 2) = 6√2.

Объяснение:

Для розв'язання задачі нам знадобиться формула для об'єму чотирикутної піраміди:

V = (1/3) * S * h,

де V - об'єм піраміди, S - площа основи, h - висота піраміди.

Підставляємо в формулу відомі дані:

256 = (1/3) * S * 6

Помножимо обидві частини рівняння на 3/6, щоб позбутися дробів:

(3/6) * 256 = S

S = 128

Отже, площа основи піраміди дорівнює 128. Щоб знайти діагональ основи, нам потрібно знайти довжину сторони основи чотирикутника. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику з катетами a та b і гіпотенузою c виконується співвідношення:

c^2 = a^2 + b^2

Оскільки у нас чотирикутник, то його можна розділити на два прямокутних трикутника, наприклад, діагоналею AC:

A----B

| |

| |

D----C

Тоді сторони цих трикутників будуть рівні сторонам основи чотирикутника. Позначимо сторону AD як a, сторону AB як b, а діагональ AC як c. Оскільки чотирикутник правильний, то всі сторони рівні між собою, тобто a = b. Тоді:

c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2

Тому:

a = b = c / √2

Підставляємо відомі дані:

c = 2 * 6 = 12

a = b = 12 / √2

Таким чином, діагональ основи чотирикутної піраміди дорівнює:

d = √(a^2 + b^2) = √(12^2 / 2) = 6√2.