1) Доведіть, що трикутник з вершинами в точках A(4; 0; 7), B(0; 8; -1) і С(2; -2; 3) - прямокутний. 2) Знайдіть площу трикутника АВС.1) Докажите, что треугольник с вершинами в точках A(4; 0; 7), B(0; 8; -1) и С(2; -2; 3) - прямоугольный. 2) Найдите площадь треугольника АВС.​

Відповідь:

1.  Для доведення прямокутності трикутника потрібно перевірити, чи перпендикулярні вектори, що утворюють його сторони. Для цього можна використати добуток скалярний векторів, який дорівнює нулю для перпендикулярних векторів.

Вектор AB = (0 - 4; 8 - 0; -1 - 7) = (-4; 8; -8)

Вектор AC = (2 - 4; -2 - 0; 3 - 7) = (-2; -2; -4)

Вектор BC = (2 - 0; -2 - 8; 3 - (-1)) = (2; -10; 4)

Потім знаходимо добутки скалярних векторів:

AB · AC = (-4) · (-2) + 8 · (-2) + (-8) · (-4) = 8 + 16 + 32 = 56

AB · BC = (-4) · 2 + 8 · (-10) + (-8) · 4 = -8 - 80 - 32 = -120

AC · BC = (-2) · 2 + (-2) · (-10) + (-4) · 4 = -4 + 20 - 16 = 0

Так як AC · BC = 0, то вектори AC і BC перпендикулярні, отже, трикутник ABC є прямокутним в точці С.

2.  Для знаходження площі трикутника використаємо формулу Герона:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (4√3 + 6 + 2√21) / 2 ≈ 8.251

S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)) ≈ 25.182, де AB = √(16 + 64 + 64) = 8√3, AC = √(4 + 4 + 16) = 2√21, BC = √(4 + 100 + 16) = 2√29

Отже, площа трикутника АВС приблизно дорівнює 25.182 квадратних одиниць.

Пояснення: