Доведіть, що коли сторона правильного дванадцятикутника дорівнює а, то радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює а√2+√3

Ответ:

:(

Объяснение:

Розглянемо правильний дванадцятикутник ABCDEFGHIJKL з центром в точці O.

Позначимо сторону дванадцятикутника як а і знайдемо кут між сусідніми сторонами:

∠AOC = 360° / 12 = 30°

Оскільки OC є радіусом описаного кола, то маємо:

sin 30° = OC / a

OC = a sin 30° = a (1/2) = a/2

Розглянемо прямокутний трикутник OAB, де ∠OAB = 60°. Позначимо OA як r. Тоді маємо:

sin 60° = AB / r

AB = r √3

Оскільки OA = OC + AB/2, то маємо:

r = OC + AB/2 = a/2 + (r √3)/2

r - (r √3)/2 = a/2

r (1 - √3/2) = a/2

r = (a/2) / (1 - √3/2) = a (√2 + √3)

Таким чином, радіус описаного кола дорівнює a√2+√3.

Ответ:Позначимо центр описаного кола правильного дванадцятикутника ABCDEFGHIJKL як O, а радіус кола як R.

Оскільки O лежить на прямій, яка є серединним перпендикуляром до сторони AB, то ОА = ОВ = R.

З іншого боку, за властивостями правильного дванадцятикутника, сторона AB ділить коло на 12 рівних дуг, тому міра кута AOB дорівнює 30 градусам.

Тоді за теоремою косинусів для трикутника AOB:

AB² = OA² + OB² - 2·OA·OB·cos(AOB)

a² = 2R² - 2R²·cos30°

a² = R²(2 - √3)

R² = a²/(2 - √3) = a²(2 + √3)

R = √(a²(2 + √3)) = a√(2 + √3)

Отже, радіус кола, описаного навколо правильного дванадцятикутника, дорівнює a√2+√3.

Объяснение: