Докажите, что треугольник равнобедренный, если в нем две высоты равны.

Пусть дан треугольник ABC, в котором две высоты BD и CE равны. Так как BD – высота, то она перпендикулярна стороне AC, а CE – высота, перпендикулярна стороне AB. Обозначим точку пересечения BD и CE как точку H. Тогда получим, что треугольник BCH~CDB (по общей стороне BC и двум углам при вершине B, они прямые). Из подобия треугольников BCH и CDB следует, что их соответствующие стороны пропорциональны: BC/BD = BH/CB и CB/CD = CH/CB Из этих двух уравнений можно выразить BD и CD через BH и CH: BD = BC²/CH и CD = CB²/BH. Так как высоты BD и CE равны, то BH = CH, а значит BD = CD. Таким образом, мы доказали, что боковые стороны треугольника равны, то есть треугольник равнобедренный.