Помогите!!! Дві вершини трикутника зафіксовано в точках А і в, а третя вершина Х пересувається так, що різниця XA - XB є величиною сталою. Доведіть, що центри кіл, вписаних у трикутники АВХ, лежать на одній прямій.

Ответ:

Зазначимо, що точка В є центром вписаного кола трикутника АХ, оскільки вона є серединою дуги АХ цього кола. Аналогічно, точка А є центром вписаного кола трикутника ВХ, оскільки вона є серединою дуги ВХ цього кола.

Нехай точка Х зміщується на вектор d. Тоді XA = (XA - XB) + XB = const + d, XB = XB + d. Оскільки кут АХВ не змінюється, то довжина дуги АХ і довжина дуги ВХ також не змінюються. Це означає, що довжина дуги АХ, яка відповідає куту АХВ, залишається сталою. З цього випливає, що відрізок BC, який є серединним перпендикуляром до дуги АХ, залишається сталим при зміщенні точки Х.

Оскільки точки А і В є центрами вписаних колів трикутників АХ і ВХ відповідно, то ці кола дотикаються до сторін АХ і ВХ відповідно в точках, які лежать на серединних перпендикулярах до цих сторін. Таким чином, центри цих колів лежать на відрізку BC. Отже, центри вписаних колів трикутників АХ і ВХ лежать на одній прямій, що проходить через серединний перпендикуляр до сторони, яка є серединним перпендикуляром до дуги АХ.