Пусть P(x) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите или опровергните, что существует такое бесконечное количество простых чисел p, что P(p) также является простым числом.

Ответ:

Это утверждение, что существует бесконечное количество простых чисел p, для которых P(p) также является простым числом, называется гипотезой Шэтинга. На данный момент эта гипотеза остается нерешенной и не доказанной.

Для многочлена с целыми коэффициентами P(x) действительно известно, что существует бесконечное количество простых чисел p, для которых P(p) является составным числом. Примером является многочлен P(x) = x^2 + 1, для которого P(p) всегда будет составным числом, даже если p - простое.

Таким образом, на текущий момент гипотеза Шэтинга остается открытым вопросом в теории чисел, и еще не была доказана или опровергнута.