У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює а, а бісектриса кута при основі дорівнює І. Знайдіть периметр трикутника.

Пусть ABC - наш треугольник с вершиной C, AM - биссектриса угла A

Тогда в треугольнике ACM

\angle ACM = \alpha\\\angle MAC = (\pi/2-\alpha/2)/2 = (\pi-\alpha)/4\\\angle CMA = 3(\pi-\alpha)/4

И по теореме синусов

\displaystyle \frac{l}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin[3(\pi-\alpha)/4]}\\\\AC=\frac{l\sin[3(\pi-\alpha)/4]}{\sin\alpha}

В треугольнике AMB

\angle MBA = (\pi-\alpha)/2\\\angle AMB = \pi-\angle CMA

И по теореме синусов

\displaystyle \frac{l}{\sin[(\pi-\alpha)/2]} = \frac{AB}{\sin(\pi-\angle CMA)} = \frac{AB}{\sin[3(\pi-\alpha)/4]}\\\\AB = \frac{l\sin[3(\pi-\alpha)/4]}{\cos\alpha/2}

Сам периметр

\displaystyle p = 2AC+AB = l\sin[3(\pi-\alpha)/4]\left(\frac{2}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha/2}\right)