Дана окружность с центром в точке O (2; -3) и диаметром 6, и прямая y = — x + 2.

Для начала найдем уравнение окружности с центром в точке O(2; -3) и диаметром 6. Радиус окружности равен половине диаметра, то есть 6 / 2 = 3. Таким образом, уравнение окружности имеет вид:

[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2
]

Раскроем скобки:

[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
]

Теперь найдем точки пересечения этой окружности с прямой y = -x + 2. Подставим выражение для y в уравнение окружности:

[
(x - 2)^2 + (-x + 2 + 3)^2 = 9
]

Упростим это уравнение и решим его для x:

[
(x - 2)^2 + (-x + 5)^2 = 9
]

[
(x - 2)^2 + (x - 5)^2 = 9
]

[
x^2 - 4x + 4 + x^2 - 10x + 25 = 9
]

[
2x^2 - 14x + 20 = 0
]

Теперь решим это квадратное уравнение:

[
x^2 - 7x + 10 = 0
]

Факторизуем его:

[
(x - 5)(x - 2) = 0
]

Таким образом, получаем два значения x: x = 5 и x = 2. Теперь найдем соответствующие значения y, подставив их в уравнение прямой:

Для x = 5:
y = -x + 2 = -5 + 2 = -3

Для x = 2:
y = -x + 2 = -2 + 2 = 0

Итак, точки пересечения окружности и прямой:

(5, -3)
(2, 0)
Теперь найдем точки пересечения прямой y = -x + 2 с осями координат:

Для оси x (y = 0):
-x + 2 = 0
x = 2

Для оси y (x = 0):
y = -x + 2 = -0 + 2 = 2

Точки пересечения прямой с осями координат:

(2, 0) на оси x.
(0, 2) на оси y.
Наконец, найдем точки пересечения окружности с осями координат, подставив x = 0 и y = 0 в уравнение окружности:

Для x = 0:
(0 - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
4 + (y + 3)^2 = 9
(y + 3)^2 = 5

Для y = 0:
(x - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 9
(x - 2)^2 + 9 = 9
(x - 2)^2 = 0

Из уравнения (x - 2)^2 = 0 следует, что x = 2.

Из уравнения (y + 3)^2 = 5 можно извлечь два корня:

y + 3 = √5 или y + 3 = -√5

Таким образом, получаем две пары точек пересечения окружности с осями координат:

(2, √5 - 3) и (2, -√5 - 3) на оси x.
(√5 - 3, 0) и (-√5 - 3, 0) на оси y.