Формула для нахождения периметра выпуклого четырехугольника по диагоналям

Для того, чтобы найти периметр выпуклого четырехугольника по диагоналям, нужно сначала найти длины его сторон. Для этого можно использовать теорему косинусов, которая гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Таким образом, если обозначить стороны четырехугольника ABCD за a, b, c и d, а диагонали за AC и BD, то имеем:

a^2 = (AC/2)^2 + (BD/2)^2 - AC * BD * cos(45°)/4

b^2 = (AC/2)^2 + (BD/2)^2 - AC * BD * cos(135°)/4

c^2 = (AC/2)^2 + (BD/2)^2 - AC * BD * cos(45°)/4

d^2 = (AC/2)^2 + (BD/2)^2 - AC * BD * cos(135°)/4

Подставляя значения диагоналей и угла, получаем:

a^2 = (5/2)^2 + (7/2)^2 - 5 * 7 * √2/8 ≈ 6.25

b^2 = (5/2)^2 + (7/2)^2 + 5 * 7 * √2/8 ≈ 23.75

c^2 = a^2 ≈ 6.25

d^2 = b^2 ≈ 23.75

Извлекая квадратные корни из обеих частей равенств, получаем приблизительные значения сторон:

a ≈ 2.5

b ≈ 4.9

c ≈ 2.5

d ≈ 4.9

Теперь, чтобы найти периметр четырехугольника, нужно сложить длины его сторон:

P = a + b + c + d ≈ 14.8

Ответ: периметр выпуклого четырехугольника с диагоналями 5 и 7 и углом между ними 45° приблизительно равен 14.8.