Планиметрия. Геометрия 9 класс. Помогите пожалуйста.

Чтобы найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан в прямоугольном треугольнике, необходимо использовать свойство, которое гласит, что указанные точки делят медиану в отношении 2:1 (то есть, расстояние от пересечения медианы до точки пересечения биссектрис вдвое больше расстояния от точки пересечения биссектрис до вершины треугольника).

Для начала найдем координаты вершин треугольника. Пусть вершины A, B и C имеют следующие координаты:
A(0, 0)
B(12, 0)
C(0, 5)

Затем найдем координаты точки пересечения медианы. Медианы треугольника пересекаются в точке, координаты которой являются средними арифметическими координат вершин треугольника. Пусть точка пересечения медиан обозначается как M(x, y). Тогда:
x = (0 + 12 + 0) /3 = 4
y = (0 + 0 + 5) /3 = 5/3

Таким образом, координаты точки пересечения медиан M(4, 5/3).

Теперь найдем уравнения биссектрис. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая находится на пересечении продолжений сторон треугольника. Обозначим точку пересечения биссектрис как P(x, y).

Первая биссектриса проходит через вершину A(0, 0) и делит противоположную ей сторону пополам. Так как биссектриса пересекается с осью OX в точке, координаты которой обозначим как Q(t, 0), то расстояние от вершины A до точки пересечения биссектрис равно расстоянию от точки пересечения биссектрис до точки Q. Поэтому AP равно PQ.

Найдем уравнение прямой AP.
Координаты вершины A: A(0, 0)
Координаты вершины C: C(0, 5)

Уравнение прямой AP имеет вид: y = kx, где k - наклон прямой.

Найдем наклон прямой AP:
k = (5 - 0) / (0 - 0) = бесконечность (т.к. деление на ноль)

Так как угол BAC прямой, то первая биссектриса будет направлена по оси OY.

Следовательно, уравнение прямой AP имеет вид: x = t.

На основании сформулированного уравнения можно сделать вывод, что точка пересечения биссектрис P имеет координаты P(t, y).

Так как точка P лежит на прямой BM, где M - точка пересечения медиан, то расстояние между P и M равно половине расстояния между B и M.

Расстояние между точкой B(12, 0) и точкой M(4, 5/3):
d(BM) = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= sqrt((4 - 12)^2 + (5/3 - 0)^2)

Подставим известные значения и рассчитаем расстояния:
d(BM) = sqrt((-8)^2 + (5/3)^2)
= sqrt(64 + 25/9)
= sqrt(721/9)

Теперь, расстояние между P и M будет равно половине расстояния между B и M:
d(PM) = d(BM) / 2
= sqrt(721/9) / 2

Окончательный ответ будет представлен в виде числа (приближенно):
d(PM) ≈ 4.009