Контрольная работа геометрия

Поскольку треугольники МНК и КНП равнобедренные, то их боковые стороны НК и НП равны, а углы МНК и КНП равны. Это значит, что угол МНК равен углу ΚНП.
Также, по определению равнобедренного треугольника, базы МК и НП равны.
Из этих двух фактов следует, что у треугольников МНК и КНП две стороны и угол между ними равны, что делает четырехугольник МНПК параллелограммом.

Периметр треугольника АОД равен сумме длин его сторон АО, ОД и АД.
Опишем окружность с центром в точке О и радиусом равным половине диагонали АС параллелограмма АВСD. Тогда диагональ АС будет её диаметром.
Диагональ АД делит окружность на дуги АПН и НСА, и поэтому угол АОД равен углу АНС.
АНС - угол, охватываемый дугой АНС окружности, а это значит, что он равен половине центрального угла АСН.
АCO - угол, охватываемый дугой АС окружности, и он равен половине центрального угла ОСН по той же причине.
Углы АОД и АСН смежные, поэтому их сумма равна 180 градусов.
Таким образом, у треугольника АОД углы А и О равны и их сумма равна 180 градусов, что означает, что треугольник АОД - прямоугольный.
Чему равен периметр треугольника АОД? Длина стороны АО равна радиусу окружности, то есть половине длины диагонали АС, то есть половине 14 см, то есть
7 см.
Длина стороны ОД равна длине диагонали меньшего параллелограмма АВСD, то есть 10 см.
Так как треугольник АОД прямоугольный, то по теореме Пифагора мы можем вычислить длину стороны АД:
(АД)^2 = (АО)^2 + (ОД)^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149.
АД = √149 см.
Таким образом, периметр треугольника АОД равен сумме длин его сторон:
9 + √149 + 10 = 19 + √149 см.

Поскольку ромб АВCD, у которого диагонали пересекаются в точке О, является ромбом, то сумма углов треугольника AOD равна 180 градусов. Также, углы BAD и ADC смежные углы, так что их сумма равна 180 градусов.
Тогда, угол AOD + угол BAD + угол ADC = 180 градусов, откуда следует, что углы треугольника AOD равны 46 градусов.

Поскольку угол BAD равен углу DAC, то у треугольника ADC две рав

1. В треугольниках ??? и ???, ?? = ?? (по условию), ?? = ?? (общая сторона), ∠??? = ∠??? (равны как углы при основании равнобедренного треугольника). Значит, треугольники ??? и ??? равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда ∠??? = ∠??? и ∠??? = ∠???. Значит, ?? || ?? и ?? = ??, то есть четырехугольник ???? является параллелограммом.

2. В параллелограмме диагонали делятся пополам в точке пересечения. Значит, ?? = 14/2 = 7 см и ?? = 10/2 = 5 см. Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть 9 см + 7 см + 5 см = 21 см.

3. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Значит, ∠??? = 46°/2 = 23°. Так как ∠??? является прямым (по свойству ромба), то ∠??? = 180° - 90° - 23° = 67°. Углы треугольника равны: ∠??? = 90°, ∠??? = 67°, ∠??? = 180° - 90° - 67° = 23°.

4. Пусть ?? = ?, ?? = ?, ?? = ?, ?? = ?. Тогда периметр трапеции равен: ? + ? + ? + ? = 20 см. Из этого следует, что 2(? + ?) = 20 см, откуда получаем, что ? + ? = 10 см. Из свойств трапеции следует, что ∠??? равен 60°. Тогда в треугольнике ??? по теореме косинусов получаем: ??²= ??² + ??² - 2* ?? * ?? * cos(60°). Подставляем известные значения и получаем значение для ??.

5. Пусть второй угол равен 7x, третий угол равен 5x. Тогда четвертый угол равен (7x + 5x)/2 = 6x. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то мы получаем уравнение: 90° + 7x + 5x + 6x = 360°. Решая его, находим x и подставляем в выражения для углов.

6. В параллелограмме диагонали делятся пополам в точке пересечения. Значит, ? является серединой отрезка ?? и ??. Так как ?? параллельна ?? и проходит через середину ??, то по свойству параллелограмма она также проходит через середину ??.