Докажите, что плоскость проведенная через середины ребер АВ, ВС и ВВ1 куба АВСДА1В1 С1 Д1 параллельна плоскости АСВ1.

**Доказательство 1**

Рассмотрим координатную систему, в которой вершины куба имеют следующие координаты:

```
A(0, 0, 0)
B(1, 0, 0)
C(1, 1, 0)
D(0, 1, 0)
A1(0, 0, 1)
B1(1, 0, 1)
C1(1, 1, 1)
D1(0, 1, 1)
```

Тогда середина ребра АВ имеет координаты (0.5, 0, 0), середина ребра ВС имеет координаты (1, 0.5, 0), а середина ребра ВВ1 имеет координаты (1, 0.5, 1).

Рассмотрим векторы, соединяющие эти точки:

```
AB = (0.5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (0.5, 0, 0)
BC = (1, 0.5, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0.5, 0)
B1B = (1, 0.5, 1) - (1, 0.5, 0) = (0, 0, 1)
```

Проекция вектора AB на плоскость АСВ1 равна (0.5, 0, 0). Проекция вектора BC на плоскость АСВ1 равна (1, 0.5, 0). Проекция вектора B1B на плоскость АСВ1 равна (0, 0, 1).

Так как проекции векторов AB и BC на плоскость АСВ1 совпадают, то и сами векторы AB и BC совпадают в плоскости АСВ1.

Так как вектор B1B перпендикулярен плоскости АСВ1, то и вектор AB перпендикулярен плоскости АСВ1.

Таким образом, плоскость, проходящая через середины ребер АВ, ВС и ВВ1, параллельна плоскости АСВ1.

**Доказательство 2**

Рассмотрим векторы, соединяющие середины ребер АВ, ВС и ВВ1:

```
M1 = (0.5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (0.5, 0, 0)
M2 = (1, 0.5, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0.5, 0)
M3 = (1, 0.5, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0.5, 1)
```

Пусть искомая плоскость имеет уравнение

```
ax + by + cz + d = 0
```

Тогда

```
M1 * (ax + by + cz + d) = 0
M2 * (ax + by + cz + d) = 0
M3 * (ax + by + cz + d) = 0
```

Подставляя значения векторов M1, M2 и M3, получаем систему уравнений

```
0.5a + 0b + 0c + d = 0
1a + 0.5b + 0c + d = 0
1a + 0.5b + c + d = 0
```

Решая эту систему, получаем

```
a = 0
b = 0
c = -d
```

Тогда уравнение плоскости принимает вид

```
d = 0
```

Таким образом, плоскость, проходящая через середины ребер АВ, ВС и ВВ1, параллельна плоскости АСВ1.

**Заключение**

Итак, мы доказали, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, ВС и ВВ1 куба АВСДА1В1С1Д1, параллельна плоскости АСВ1.