Через вершину конуса проведено площину, яка перетинає основу конуса по хорді. Цю хорду видно із центра основи під кутом 60°. Відстань від центра основи до середини висоти перерізу дорівнює 4см. Знайдіть, під яким кутом площина перерізу нахилена до площини основи, якщо радіус основи конуса дорівнює 8см.

Ответ: угол, под которым плоскость перереза наклонена к плоскости основы, равен приблизительно 73,4°.

Объяснение:

Пусть R - радиус основы конуса, r - радиус основы перереза, h - высота перереза, H - высота конуса, α - угол между плоскостью перереза и плоскостью основы.

Найдем радиус основы перереза r. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника OAB, где O - центр основы конуса, A и B - концы хорды, по которой пересекается основа. По условию, угол AOB равен 60°, а сторона OA равна R. Тогда r=AB=√(OA²+OB²−2OA⋅OB⋅cosAOB)​=√(R²+R²−2R²⋅cos60°)​=√(2R²−R²​)=√R²=R

Найдем высоту конуса H. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника OMC, где O - центр основы конуса, M - середина высоты перереза, C - вершина конуса. По условию, сторона OM равна 4 см, а гипотенуза OC равна R + H. Тогда H=√(OC²−OM²)​−R=√((R+H)²−4²)​−R

Решим квадратное уравнение относительно H, полученное в предыдущем пункте. Для этого переместим все слагаемые в левую часть и приравняем к нулю. Тогда H²+2RH−R²+16=0

Найдем корни уравнения, используя формулу для квадратного уравнения. Тогда H=( 2−2R±√(4R2−4(−R2+16)) )​​ / 2 =(−2R±√(8R²−64​​) ) / 2=−R±2R²−16​

Отбросим отрицательный корень, так как высота не может быть отрицательной. Тогда H=−R+2R²−16​

Подставим значение R, равное 8 см, и найдем численное значение H. Тогда H=−8+2⋅82−16​=−8+112​≈2,58

см.

Найдем угол α, под которым плоскость перереза нахилена к плоскости основы. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC, где A и B - концы хорды, по которой пересекается основа, C - вершина конуса. По условию, угол ACB равен 90°, а сторона AB равна r. Тогда sinα=AB/AC​=​r ​/ √(r²+H²)

Подставим значения r и H, найденные ранее, и выразим α. Тогда α=arcsin(​r / √(r²+H²​))=arcsin(8 / √(8²+2,58²))≈73,4°