Одна из диагоналей равнобедренной трапеции перпендикулярна боковому ребру трапеции и имеет длину 5 см. Узкий угол трапеции равен 60°. Рассчитайте: а) длину стороны трапеции; б) высоту трапеции; в) основания трапеции; г) площадь трапеции. По тексту нарисуйте чертеж, у которого на чертеже боковая грань должна быть перпендикулярна диагонали трапеции.

Ответ:

Давайте обозначим узкий угол трапеции как \(\angle A\) и диагональ, перпендикулярную боковому ребру, как \(BD\).

Поскольку трапеция равнобедренная, то \(\angle A = \angle B = 60^\circ\). Посмотрим на чертеж:

```

A ________ B

/ \

/ \

/____________\

D C

```

а) Длина стороны трапеции \(AB = BC\) можно найти, зная угол в 60° и длину диагонали \(BD\):

\[ AB = BC = BD \cdot \tan(\angle A) \]

\[ AB = BC = 5 \cdot \tan(60^\circ) \approx 8.66 \, см \]

б) Высота трапеции \(h\) равна длине перпендикулярной проекции точки \(D\) на основание \(AC\). Так как трапеция равнобедренная, то \(h\) можно выразить как:

\[ h = BD \cdot \cos(\angle A) \]

\[ h = 5 \cdot \cos(60^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \, см \]

в) Основания трапеции \(AC\) можно найти, используя длину стороны \(AB\) и высоту \(h\):

\[ AC = AB + 2 \cdot h \]

\[ AC = 8.66 + 2 \cdot 2.5 = 13.66 \, см \]

г) Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + AC) \cdot h \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (8.66 + 13.66) \cdot 2.5 = 26.65 \, см^2 \]