Равнобедренный треугольник abc на стороне ab и bc отмечены точки K и p. O-середина основания Дано: AB=BC Докажите: АК=CP​

Ответ:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с AB = BC. Также, обозначим середину отрезка AC через O.

Так как ABC - равнобедренный треугольник, то AO и CO - медианы, пересекающиеся в точке O, которая является серединой AC. По свойству медиан в равнобедренном треугольнике, точка O также является серединой отрезка BP (где P - точка на стороне BC).

Теперь рассмотрим треугольник ABO. Поскольку O - середина AB, то AO = BO. Также, по построению, AO = CO (так как O - середина AC). Из этого следует, что CO = BO.

Теперь рассмотрим треугольник BCP. Так как CO = BO и CP общая сторона, а угол BCO = BCP (по построению), то треугольники BCO и BCP равны по стороне-угол-стороне (SSS).

Следовательно, \(\angle BCO = \angle BCP\), а значит, \(\angle ACB = \angle BCP\).

Теперь обратим внимание на треугольники ABC и ACP. У них равны углы ACB и BCP, а стороны AB и BC равны. Следовательно, треугольники ABC и ACP равны по углу-сторона-углу (ASU).

Таким образом, из равенства треугольников ABC и ACP следует, что AC = CP. Также, по построению, AK = AC. Следовательно, AK = CP.