ДАЮ 50 БАЛОВ ОЧЕНЬ СРОЧНО 1)Знайти координати вектора АВ та його модуль,якщо А(2;-5) В(8;3). 2)знайти координати вектора с=2а-в,якщо а(0;4) в(-3;-2). 3)вектор а(х;2) в(-3;6).Знайти значення Х ,якщо а) вектори а і в колінеарні; б)вектори а і в перпендикулярні 4)Знайти скалярний добуток векторів а і в,якщо їх модулі дорівнюють відповідно 2 і 5,а кут між векторами 120 градусів. 5)знайти косинус кута між векторами а і в,якщо а(7;24) В(7;0)

Ответ:

1) Координати вектора \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (8 - 2, 3 - (-5)) = (6, 8) \]

Модуль вектора \( \overrightarrow{AB} \) визначається за формулою:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

2) Координати вектора \( \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \):

\[ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = 2(0, 4) - (-3, -2) = (0, 8) - (-3, -2) = (0 + 3, 8 + 2) = (3, 10) \]

3)

а) Якщо вектори \( \overrightarrow{a} \) і \( \overrightarrow{b} \) колінеарні, то їхні координати пропорційні:

\[ \frac{x_b}{x_a} = \frac{-3}{x} = \frac{6}{2} \]

\[ \frac{-3}{x} = \frac{6}{2} \]

\[ -3 \cdot 2 = 6 \cdot x \]

\[ -6 = 6x \]

\[ x = -1 \]

б) Якщо вектори \( \overrightarrow{a} \) і \( \overrightarrow{b} \) перпендикулярні, то їхні скалярні добутки дорівнюють нулю:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \]

\[ (x, 2) \cdot (-3, 6) = 0 \]

\[ x \cdot (-3) + 2 \cdot 6 = 0 \]

\[ -3x + 12 = 0 \]

\[ -3x = -12 \]

\[ x = 4 \]

4) Скалярний добуток векторів \( \overrightarrow{a} \) і \( \overrightarrow{b} \) обчислюється за формулою:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos{\theta} \]

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ} \]

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10 \cdot \cos{120^\circ} \]

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -5 \]

5) Косинус кута між векторами \( \overrightarrow{a} \) і \( \overrightarrow{b} \) обчислюється за формулою:

\[ \cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} \]

Для цього спершу знайдемо скалярний добуток векторів \( \overrightarrow{a} \) і \( \overrightarrow{b} \):

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (7 \cdot 7) + (24 \cdot 0) = 49 \]

Тепер обчислимо модулі векторів:

\[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]

\[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7 \]

Тепер підставимо значення у формулу для косинуса кута:

\[ \cos{\theta} = \frac{49}{25 \cdot 7