Геометрия олимпиадная задача

Для доказательства неравенства AB ⩽ AD + BC в данной геометрической задаче, давайте воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами треугольников.

Обозначим длину отрезка AB как a, длину отрезка AD как b, длину отрезка BC как c. Поскольку ∠AMB = 90°, треугольник AMB - прямоугольный.

Теперь рассмотрим треугольники AMB и CMD. По теореме Пифагора для треугольника AMB:

[ AM^2 + MB^2 = AB^2 ]

Также, по теореме Пифагора для треугольника CMD:

[ CM^2 + DM^2 = CD^2 ]

Так как M - середина отрезка CD, то CM = DM. Поэтому:

[ 2CM^2 = CD^2 ]

[ CM^2 = \frac{1}{2} CD^2 ]

Теперь вспомним, что AM = MB, так как треугольник AMB - прямоугольный с углом 90°. Таким образом, AM = MB = x (пусть x будет длиной стороны треугольника AMB).

Теперь мы можем записать:

[ x^2 + x^2 = a^2 ]
[ 2x^2 = a^2 ]
[ x = \frac{a}{\sqrt{2}} ]

Теперь рассмотрим треугольник ABC. По неравенству треугольника:

[ a + c > b ]
[ a > b - c ]

Также, по свойству треугольника AMB:

[ a = \frac{b}{\sqrt{2}} ]

Таким образом, мы имеем:

[ \frac{b}{\sqrt{2}} > b - c ]
[ b > \sqrt{2} b - \sqrt{2} c ]
[ \sqrt{2} b > c ]

Теперь, прибавим к обеим сторонам неравенства c:

[ \sqrt{2} b + c > 2c ]

Теперь, зная, что AB = 2x и AD + BC = CD, мы можем заключить:

[ AB = 2x = 2\frac{a}{\sqrt{2}} = a ]
[ AD + BC = CD = 2CM = 2\sqrt{\frac{1}{2} CD^2} = CD ]

Таким образом, мы доказали, что AB ≤ AD + BC.