Около квадрата со стороной 2^2 описана окружность которая вписана в правильный треугольник. Найдите площадь треугольника.

 

Дано:а=2 сторона квадрата, АВС правильный треугольник.

Найти: Sавс.

Решение:Д диагональ квадрата.

По теореме Пифагора Д^2 = а^2 + а^2

Д=кор.кв.( 2 х  а^2) = а х кор.кв.2=   2 х кор.кв.2 

Д является диаметром описанной окружности около квадрата.

Следовательно радиус окружности  r=1/2 х Д =  кор.кв.2

Радиус окружности вписанной в правильный многоугольник находится по формуле:

  r = А  / (2 х tg(180/n)) , где  А сторона многоугольника ,  n угол   многоугольника.

   r = А  / (2 х tg(180/60))  =   А /6 х  ( кор.кв.3 ) 

А =   (6 х r)  /   ( кор.кв.3) =   (6 х   ( кор.кв.2) )  /   ( кор.кв.3)

  Sавс = А х H  /  2 ,  H высота правильного треугольника.

  По теореме Пифагора  А ^2 = (А / 2) ^2  +  H^2 

 H ^2  =  А ^2 - (А / 2) ^2 = 3 х А ^2 / 4 

   H  =( кор. кв. 3 х А)  / 2

   Sавс = А х H  /  2 =  Sавс =( А / 2)  х  ( кор. кв. 3 х А)  / 2 = ( кор. кв. 3 х А ^2 )  / 4 = (36 х 2 х  ( кор. кв. 3 )) /( 3 х 4) = 6 х ( кор. кв. 3 )   

 Ответ:  Sавс =   6 х ( кор. кв. 3 )