С-4 ЕГЭ

Около конуса с радиусом основания R описана произвольная пирамида, у которой периметр основания равен 2p. Определить отношение объемов и отношение боковых поверхностей конуса и пирамиды.

РЕШЕНИЕ и РИСУНОК

Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н.

Обозначим объемы конуса  и пирамиды через V1  и V2 соответственно ,

а их боковые поверхности – через S1 и  S2 

тогда V1=1/3pi*R^3H , S1=pi*RL ,

где  L-образующая конуса.

Найдем V2  и S2.

Так как  периметр  основания пирамиды равен 2р ,

а основание конуса – вписанная в основание пирамиды окружность,

то площадь основания пирамиды равна pR,

откуда V2=1/3pRH, S2=pL (высота любой грани равна L).

Тогда

V1 : V2 =1/3piR^2H  : 1/3pRH = pi*R/p

S1 : S2 =pi*RL : pL = pi*R/p

Ответ  V1 : V2 = S1 : S2 = pi*R/p