через каждую из диагоналей ромба проведена плоскость, перпендикулярная второй его диагонали. Доказать, что эти плоскости перпендикулярны.

Эти плоскости перпендикулярны согласно теореме:

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Диагонали ромба лежат каждая в одной из плоскостей и перпендикулярны друг другу ( по свойству диагоналей ромба).

 Если нужно доказательство теоремы, переписывать смысла нет, оно  на

http://schools.keldysh.ru/sch1905/Geom_perpendikularnost/pris2pl.htm

прямая пересечения этих плоскостей перпендикулярна обеим диагоналям (ну, она пренадлежит плоскости, перпендикулярной КАЖДОЙ из диагоналей:)). Поэтому плоскость ромба перпендикулярна линии пересечения плоскостей, и угол между диагоналями ромба есть двугранный угол между этими плоскостями, то есть он - 90 градусов.