Через вершину A прямоугольника ABCD проведена наклонная PA, которая образует со сторонами AB и AD углы 45 и 60. Найдите угол между этой наклонной и плоскостью прямоугольника.

Е - проекция точки Р на плоскость. Опустим из ней перпендикуляры на АВ и AD, обозначим В(:))) можно считать, что Е лежит на ВС, мы просто так выбрали длину АР)  и F (можно было бы обозвать её D, а Е переобозначить за С - это совершенно не важно, но на рисунке уже обозначена точка С и D, и это внесет путаницу) 

Тут важно понять вот что - РЕ перпендикулярно ВЕ и ЕF, АВЕF - прямоугольник, 

АВ перпендикулярно плоскости ВЕР (в этой плоскости есть 2 прямые, перпендикулярные АВ, это РЕ и ЕВ) поэтому АВ перпендикулярно ВР. Точно так же доказывается (это стандартный метод), что AF перпендикулярно PF (попробуйте сами объяснить). Обозначим а = АВ, b = AF, L = AP, c = AE; угол РАЕ = Ф;

Тогда

a = L*cos(45) = a/корень(2);

b = L*cos(60) = a/2;

c = корень(a^2 + b^2) = L*корень(1/2 + 1/4) = L*корень(3)/2;

cos(Ф) = c/L = корень(3)/2; sin(Ф) = корень(1 - 3/4) = 1/2;

Ф = 30 градусов.