Ребро правильного тетраэдра равно 1. Найдите расстояние от центра окружности описанной около основания тетраэдра до его боковой грани.

Смотрите, как можно решать такие задачи в уме. 

Правильный тетраэдр все равно на какую грань ставить :)) поэтому можно искать расстояние от центра окружности, описанной вокруг боковой грани, до основания тетраэдра.

А центр описанной окружности у правильного треугольника находится в точке пересечения медиан (высот, биссектрис и пр), то есть на АПОФЕМЕ в точке 2/3 АПОФЕМЫ от вершины пирамиды (и 1/3 от основания). Поэтому расстояние от этой точки до плоскости основания будет 1/3 от ВЫСОТЫ ПИРАМИДЫ (тетраэдра). 

Осталось только найти высоту тетраэдра и разделить её на 3...

Высота тетраэдра находится из прямоугольного треугольника, составленного из неё, бокового ребра и проекции бокового ребра на основание, которая равна 2/3 высоты треугольника (это радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности). 

Высота тетраэдра корень(2/3), а искомое расстояние (1/3)*корень(2/3)