Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС равен 13. Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник, если длина основания АС равна 24.

от вершины основания до центра описанной окружности 13, а проекция этого радиуса на основание равна 12.

Поэтому от центра описанной окружности до основания 5 (это заклинание 5,12,13:)))).

А целиком высота треугольника 13 + 5 = 18;

А вот дальше - ничего веселого, но тут уж ничего не поделать - числа не я подбирал.

Боковая сторона равна корень(18^2 + 12^2) = 6*корень(13);

периметр P = 12*корень(13) + 24 = 12*(корень(13) + 2);

площадь S = 24*18/2; оставим так пока

r = 2*S/P = 24*18/(12*(корень(13) + 2)) = 36/(корень(13) + 2);

упрощать это смысла нет. Это примерно 6,42220510185596, то есть треугольник очень близок к правильному, поскольку R - 2*r = 0,155589796288087, очень маленькая величина по сравнению с R = 13.