С4. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АLM.

Это практически устная задача. Надо знать несколько простых вещей.

1. Отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. 

Ясно, что этот отрезок - часть средней линии, заключенная между диагоналями. Куски средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания - как средние линии (в обозначениях задачи это средние линии треугольников KLM и NLM). Если обозначить основания как a и b, то 

12 = (a + b)/2 - 2*(b/2) = (a - b)/2;

Кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24; 

Отсюда легко находим a = 36, b = 12;

Рассмотрим теперь подобные треугольники KAN и LAM. LN/KN = 12/36 = 1/3;

Поэтому AL/AK = AM/AN = 1/3; Но AK - AL = 10; AN - AM = 26, отсюда сразу находим AL = 5, АМ = 13.

Вот тут нам Пифагор здорово облегчает жизнь - получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. По известной формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

r = (5 + 12 - 13)/2 = 2. Это ответ.

Кстати, эта формула получается очень просто, поскольку отрезки касательных к вписанной окружности, из которых складываются стороны, включают и сам радиус r.

И, между прочим, в задаче с самого начала задана прямоугольная трапеция.

cредняя линия=24

BC=12

LM+KN/2=24

KN-LM/2=12

LM=12

KN=36

KAN -LAM

AK/AL=AN/AM=KN/LM=3 =>

AK/AL=AL+LK/AL=AL+10/AL=3 => AL=5 

AN/AM=AM+MN/AM=AM+26/AM=3 => AM=13

S alm=30 по герону

 r=Salm/0.5Palm=2