1) Измерения прямоугольного параллепипеда равны 1,2 и 3. Определите площадь полной поверхности параллепипеда.

2) Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна "a" см, а высота пирамиды "b" см. Найдите апофему пирамиды

3) Найдите величину угла мужду боковым ребром правильной пирамиды и плоскостью её основания, если длина ребра 10√2, а высота пирамиды равна 10

4) Апофема правильной треугольной пирамиды равна 3, а сторона основания пирамиды равна 4. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

использованы формулы площади полной поверхности параллелепипеда, правильной пирамиды, площади правильного треугольника, определение угла между прямой и плоскостью, определение синуса угла

1) Площадь поверхности складывается из площади боковых сторон и двух площадей оснований S = 2(a+b)*c + 2ab = 2(1+2)*3+2ab = 18+4 = 22

2) Апофема пирамиды - это высота боковой грани. Проведем вертикальную плоскость через вершину пирамиды параллельно стороне основания. В сечении получим равнобедренный треугольник с высотой b и основанием а. Боковые стороны треугольника - апофемы с. По теореме Пифагора: с=√[b²+(a/2)²]

3)Проведем вертикальную плоскость через высоту пирамиды и боковое ребро.

В сечении получим прямоугольный тр-к у которого один из катетов OE=10 - высота пирамиды, другой лежит в плоскости основания AE, а гипотенуза OA=10√2 - ребро.

У угла при основании ОАЕ -  sin(OAE)=OE/OA=10/10√2 = √2/2.

ответ - угол при основании OAE=45градусов

4)Полная поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых сторон + площадь основания: S = 3(4*3)/2 + 2(√3*a²/4) = 18 + 8√3 ≈ 31,9