Две окружности радиуса R с центрами О1 и О2 касаются друг друга. Их пересекает прямая в точках A, B, C и D так, что AB=BC=CD. Найти площадь четырехугольника O1ADO2.

Соединим центры окружостей последовательно с А, В, С и D (cм. рисунок).Получим 5 треугольников.  Поскольку АВ=ВС=СD, отрезки АВ и СD отсекают от окружностей равные дуги.  Потому центральные углы при них равны. Расстояния от центров окружности до прямой АD равны, как расстояние от центра до равных хорд. => АD и О₁О₂ параллельны. По свойству параллельных прямых все углы в полученных 5 треугольниках равны. Треугольники равносторонние.  Площадь равностороннего треугольника, выраженного через его сторону, равнаS=(а²√3):4. Треугольников таких в данном четырехугольника 5, а сторона их равна радиусу.  Искомая площадь равнаS=(5R²√3):4