В треугольнике АВС известны стороны: АВ=7, ВС=10, АС=8. Окружность, проходящая Через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и Л, отличных от вершин треугольника. Отрезок КЛ касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка КЛ

Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Обозначим точки касания вписанной окружностью М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, и - точно так - же точку касания с KL обозначим N. 

Из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник, угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. 

Обозначим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

x + y = 7;

y + z = 8;

x + z = 10;

x - y = 2; 2*x = 9; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. Периметр треугольника BKL равен 2*x = 9; поскольку KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x

Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/8; BK = KL*10/8, периметр равен KL*25/8; Поэтому 

KL*25/8 = 9; KL = 72/25;