y=(x-5)^2*(x-3)+10. Найти наименьшее значение функции на отрезке [4;8]

у=(х-5)²·(х-3)+ 10

y' = 2·(х-5)·(х-3) + (х-5)²

ищем минимум

2·(х-5)·(х-3) + (х-5)² = 0

(х-5)·(2х - 6 + х - 5) = 0

(х-5)·(3х - 11) = 0

х₁ = 5, х₂ = 11/3 = 3 2/3

Исследуем знак производной в интервалах

    +               -              +

-------11/3---------- 5 ------------

У'(3) = -2·(-2) = 4 > 0    y   возрастает

У'(4) = -1·1 = -1 < 0       y    убывает

У'(6) = 1·7 = 7 > 0          y   возрастает

Точка минимума х₁ = 5

У min = у(5) = (5-5)²·(5-3)+ 10 = 0·2 + 10 = 10

На промежутке от 4 до 8 функция ведёт себя так:убывает при х∈[4 ; 5] и возрастает при ∈[5 ; 8].

Следовательно, наименьшее значение функции совпадает с её минимальным значением

Ответ: у наим = 10