в правильной четырехугольной призме стороны основания равна 1, а боковые ребра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так ,что AE : EA1=2:1. Найдите угол между плоскостями ABCиBED1

Ясно, что АЕ = 2, ЕA1 = 1

Прямая D1E продолжается за точку Е до пересечения с продолжением DA. Пусть это точка М. МВ - линия пересечения плоскостей АВС и ВЕD1 (ясно, что точка М и точка В принадлежат обеим плоскостям, а значит и вся прямая МВ - тоже). 

Треугольники ЕА1D1 и MAE подобны. Легко видеть, что это равнобедренные треугольники, и МА = АЕ = 2; 

Мысленно проводим плоскость через АЕ (то есть через АА1) перпендикулярно МВ. Пусть она пересечет МВ в точке К. Ясно, что АК - высота в треугольнике МАВ, стороны которого равны МА = 2, АВ = 1. Отсюда МВ = корень(5); 

AK*MB = МА*АВ (это удвоенная площадь МАВ), отсюда АК = 2/корень(5);

Искомый угол ЕКА = Ф легко считается так - его тангенс 

tg(Ф) = АЕ/АК = корень(5);