Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведены прямые, параллельные катетам. Определите вид получившегося четырехугольника и найдите его  диагонали, если гипотенуза равна 9 см.

Проведенные линии - это средние линии треугольника. Легко видеть, что в получившемся четырехугольнике противоположные стороны параллельны, и один угол равен 90 градусов. То есть это прямоугольник.

Что касается диагоналей, в прямоугольнике они равны между собой, и одна из них - медиана исходного прямоугольного треугольника, то есть она равна половине гипотенузы 9/2 = 4,5.

1)Рассмотрим ΔABC, <C = 90°. M - середина гипотенузы, MN || BC, MK || AC. Поскольку MN проходит через середину гипотенузы, и MN || BC, то MN - средняя линия этого треугольника. аналогично имеем, что MK - также средняя линия. По свойству средней линии MK = AC/2. Но N - середина AC, так как MN - также средняя линия. Следовательно, получаем

MK = AC/2; NC = AC/2 ; MK = NC. Поскольку MK || AC, то MK || NC. А мы знаем, что если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. Параллелограм же, в котором есть прямой угол(<C - прямой по условию), то этот параллелограмм -прямоугольник. Следовательно, СNMK - прмоугольник.

2)Диагонали найти теперь проще простого. Соединим вершину C с вершиной M.(CM - диагональ). Так как M - середина гипотенузы, то CM - медиана. А медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Значит, CM = 9 : 2 = 4.5 см. В прямоугольнике диагонали равны, значит, NK = CM = 4.5 см.