Конус, площадь боковой поверхности которого в 3 раза больше площади основания, и шар с радиусом кубический корень из 2 равновелики. Найти высоту конуса.

Sбок = пRL, Sосн = пR^2,  пRL=3пR^2, L = 3R, L=√R²+h², √R²+h²= 3R, R²+h²=9R²

h = 2R √2, 

Vш = 4п(r^3)/3 = 4π*2/3 = 8π/3, Vш = Vк

Vк = πR²h/3 = 8π/3,

R²h = 8,  h = 8/R²

R²h = 8

h = 2R √2

R= h/2√2

(h/2√2)²h = 8

h^3/8 =8

h^3 = 64

h = 4

Если считать основание, как ортогональную проекцию боковой поверхности, то угол наклона Ф образующей к основанию сразу вычисляется

Sosn = Sboc*cos(Ф);

cos(Ф) = 1/3;

Отсюда сразу же ctg(Ф) = 1/√8;

радиус основания связан с высотой конуса так r = h*ctg(Ф);

r = h/√8 (ну, или h/(2√2), если очень хочется :).

Объем конуса (1/3)*(π*r^2)*h = (π/3)*h^3/8;

Объем шара радиуса R = 2^(1/3) равен (4π/3)*R^3 = (8π/3);

h^3/8 = 8; h^3 = 64; h = 4;