В треугольнике ABC длины сторон CB, CA и AB соответственно равны 4,3 и 2. Найти отношения в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла (считая от вершины B).

Пусть дан треугольник АВС, у которого АВ=2см, ВС=4см, АС=3см. Проведем биссектрисы AF, BK, CE, которые пересекаются в точке О. По свойству биссетрисы треугольника : биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам. 

Рассмотрим биссетрису ВК, применяя описанное свойство, имеем:

АК:КС=АВ:ВС

АК:КС=2:4=1:2

Значит сторона АС состоит из 1+2=3 равных части. А так как АС=3 см, то одна часть составляет 1см, то АК=1 см, КС=2см.

Рассмотрим треугольник ВСК, в нем СО - биссетриса.Используя тоже свойство, получим:

ВО:КО=ВС:СК

ВО:КО=4:2=2:1

Значит точка О делит биссектрису, проведенную из точки В в отношении 2:1

Нисколько не посягая на приоритет Лоры, я вот что сделаю -

обозначу a = CB = 4; b = AC = 3; c = AB = 2; (Угол В лежит напротив стороны b.) 

Точка О - точка пересечения биссектрис. ВМ - биссектриса угла В, М лежит на АС.

Сторона b делится на отрезки, отношение которых

АМ/МС= c/a, а их сумма АМ + МС = b.

Легко увидеть, что эти отрезки имеют длины СМ = b*a/(a+c) и АМ = b*c/(a+c);

Биссектриса угла В делится биссектрисой угла А в отношении BO/OM = AB/AM; считая от вершины В.

ВО/ОМ = c/(b*c/(a+c)) = (a+c)/b; 

это очень полезная формула. В условиях задачи ВО/ОМ = (4 + 2)/3 = 2;