Равнобедренный треугольник АВС с основанием AС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника АВС равна 4√2, угол B = 45 градусов. Прямая, проходящая через точку O и середину BС, пересекает сторона АB в точке K. Найдите площадь треугольника ВСK.

Пусть дан треугольник АВС, вписанный в окружность с центром в точке О. Известно, что центр опианной окружности лежит в точке пересечения середенных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника . Пусть точка М - середина ВС, то КМ - высота и медиана треугольника ВСК, а это означает, что треугольник ВСК - равнобедренный ВК=КС, причем КМ =ВМ, т. к. угол В =45 градусов.

Пусть ВМ=МС=х см, то АВ=ВС=2х см. 

S=1/2* AB*BC*sin B=1/2*2x*2x*sin 45=x^2* sqrt2

S=4sqrt2, то х=2 см. Значит АВ=Вс=4 см, а ВМ=КМ=2 см

S треугольника ВКС=1/2*BC*KM=1/2*4*2=4 см ^2

Я вот как сделаю. Вслед за Лорой середину ВС я обозначу за М. Треугольник МКВ - прямоугольный с углом в 45 градусов, то есть МК = ВК = a/2; (a - боковая сторона АВС), и поэтому ВК = a*√2/2;

Если h - расстояние от С до АВ, то Sabc = a*h/2; Sbck = BK*h/2; поэтому

Sbck = Sabc*(BK/a) = (4*√2)*(√2/2) = 4.