Дан цилиндрс высотой равной корень из 6 и радиусом основания 5. В нижнем основании цилиндра проведена хорда MN длины 6 и на ней взята точка K, делящая её в отношении 2:1. Через точку K проведена плоскость, перпендикулярная MN и пересекающая верхнее основание цилиндра по хорде PQ. Найдите объём пирамиды MNPQ.

Пусть АВ - хорда окружности в основании, перпендикулярная MN и проходящая через точку К. Расстояние от центра окружности до этой хорды АВ равно 1 (это просто - КN равно 2, а половина MN равна 3, разность как раз и есть расстояние от центра до хорды АВ, содержащей точку К).

Поэтому (АВ/2)^2 = R^2 - 1^2 = 24;  AB/2 = 2*√6;

AB = PQ = 4*√3;

Площадь сечения PQAB равна (√6)*(4*√6) = 24;

Площадь треугольника KPQ равна половине площади этого прямоугольника PQAB, то есть Skpq = 12. 

Объем пирамиды MNPQ равен сумме объемов пирамид MKPQ и NKPQ, и равен 

V = (1/3)*Skpq*(MK+KN) = (1/3)*Skpq*MN = (1/3)*12*6 = 24;