Докажите, что если отрезки соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, перпендикулярны, то диагонали данного четырехугольника равны. 

Известно, что в выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины смежных сторон,  образуют параллелограмм.

В этом параллелограмме отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, являются диагоналями параллелограмма.

По условию эти отрезки (диагонали параллелограмма) перпендикулярны. Следовательно, этот параллелограмм является ромбом.

У ромба все стороны равны. Значит, все отрезки, соединяющие середины смежных сторон, равны.

Отрезок, соединяющий середины двух смежных сторон, параллелелен диагонали и является средней линией треугольника, образованного этими сторонами и диагональю.

Поскольку средние линии всех треугольников равны, то и параллельные им диагонали равны, что и требовалось доказать.