В прямоугольном треугольнике с вершины прямого угла до гипотенузы проведено медиану длинной 25 см и высоту длинной 24 см . Найдите периметр треугольнника и его площу 

В прямоугольном треугольнике на середине гипотенузы лежит центр описанной окружности, то медиана является также радиусом описанной окружности, то гипотенуза равна 50 см.

Площадь данного треугольника  S= , где а - гипотенуза, h - высота, проведенна к гипотенузе

S= см^2

Высота, проведенная к гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. , где с и d - проекции катетов на гипотенузу

Пусть одна проекция равна х см, то вторая (50-х) см. то подставляя в формулу, имеем:

 576=50x-

x1=32,  x2=18

Значит проекции катетов на гипотенузу 32 см и 18 см.

По т. Пифагора найдем катеты:

катет1=[tex]\sqrt{24^{2}+32^{2}}=40 

катет2=[tex]\sqrt{24^{2}+18^{2}}=30 

P=50+40+30=120 см

Треугольник АВС, угол С прямой, СМ - медиана, СМ = 25, СН - высота, СН = 24.

Ясно, что АС = 2*СМ = 50. Площадь АВС равна 24*50/2 = 600;

Треугольник СНМ - прямоугольный треугольник с катетом 24 и гипотенузой 25, то есть это Пифагоров треугольник (7,24,25). МН = 7. 

Поэтому АН = АМ + МН = 25 + 7 = 32, ВН = 25 - 7 = 18.

Теперь можно сосчитать по теореме Пифагора катеты, но это очень скучно.:)

Рассмотрим внимательнее треугольники АСН и ВСН.

Тр-к АСН имеет катеты 24 и 32, и легко видеть, что это треугольник, подобный "египетскому" со сторонами (3,4,5) с коэффициентом подобия 8. Поэтому у этого треугольника стороны (24,32,40). АС = 40. 

Тр-к ВСН подобен АСН, то есть это тоже "египетский" треугольник, его стороны (18,24,30). ВС = 30.

Треугольник АВС тоже подобен АСН, и он тоже "египетский", его гипотенуза 50, поэтому это треугольник со сторонами (30,40,50). :))) (по одной гипотенузе я нашел все стороны :)))

Приметр равен 30 + 40 + 50 = 120.

Я обращаю внимание на то, что "экономничное" решение на много короче. После нахождения АН = 32, констатируется подобие АВС и АСН,

то есть СВ/АВ = СН/АН = 24/32 = 3/4. Это - отношение катетов "египетского" треугольника, поэтому АВС это треугольник (30,40,50) с периметром 120. Это все.