Точки M, N и P лежат на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС, причем
AM/AB=  BN /BC=  CP /CA = 1/ 3 . Прямые СМ, AN, BP, пересекаясь, ограничивают
треугольник, площадь которого равна S. Найдите площадь треугольника ABC

а что такое средний ум ?

Для обычного человека возможно вызовет затруднения. Вот так чисто логически поиграть

Но хорошее увлекательное упражнение

Но ваше решение оптимальней тут не поспоришь

ясно

       Положим что треугольник     площадь  котрого равна     

По теореме Менелая , получим   соотношения    

Допустим угол между сторонами меньшего треугольника равны 

 

 

 

       

То есть площадь треугольника

        

Проведем HS || AB. Обозначим   SH=m SP=cтреугольники AMC и SHC подобны как и треугольники ABP  и SHP.Дальше просто поиграем с отношениями:x/m=3z/(z+c)3x/m=2z/cподелим одно на второе:3=2/c * (z+c)/3=2(z+c)/3c 9c=2z+2c2z=7cc=2z/7MC/HC=3z/(z+c)=3z/(z+2z/7)=3/(9/7))=7/3Ну еще  для достижения успеха нужно найти  отношения:BH/Hf и MH/Hg. В  целом это та же  игра отношений. Хотя иногда эта  игра бывает такой сложной,что  средний ум бы с ней   не справился, что делает сам  процесс   игры  с отношениями весьма увлекательным  занятием :)Пусть Bp=j  Bp/Hp=2z/c=2z/(2z/7)=7Hp=j/7.В силу симметрии задачи(на каждой  стороне те же  отношения )Bp/Bf=7/3Bf=3j/7Откуда: fH=j-j/7-3j/7=3j/7HB=j-j/7=6j/7BH/fH=6/7*7/3=2  :) Осталось еще 1  отношениеMH/Hg но  в целом  из симметрии  выходит  что  по  тем же принципам:  MC=k  Mg=k/7 Hg=3k/7 :)MH/Hg=4/7 *7/3=4/3Ну  вот и вся задача осталось поиграть  с площадями. :)SBMH=4/3*2*S=8/3 SSBMC=8/3*7/4S=14S/3SABC=14S/3*3/2=7SСошлось :) Я  саму игру площадей не расписывал  если нужно напишу..