Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Докажите методом ОТ ПРОТИВНОГО, что не существует треугольника, в котором медиана к одной стороне равна полсумме двух других сторон

Ответы 1

  • Рассмотрим треугольник с основанием c, боковыми сторонами a и b, и медианой к основанию m. Обозначим угол наклона медианы к основанию \alpha со стороны a, и \beta со стороны b.

    По теореме косинусов:

    a^2=m^2+\frac{c^2}{4}-mc \cdot \cos \alpha\\ b^2=m^2+\frac{c^2}{4}-mc \cdot \cos \beta=m^2+\frac{c^2}{4}+mc \cdot \cos \alpha 

    То есть

    a^2+b^2=2m^2+\frac{c^2}{2}\\ 2a^2+2b^2=4m^2+c^2 

    Предположим от противного, что медиана к основанию равна полусумме боковых сторон:

    2m=a+b\\ 4m^2=a^2+2ab+b^2

    Подставив выражение для 4m^2 в предыдущее равенство, получим:

    2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2+c^2\\ a^2-2ab+b^2=c^2\\ (a-b)^2=c^2\\ a-b=c\\ a=b+c

    То есть сумма двух сторон треугольника равна его третьей стороне.

    Поскольку такого треугольника не существует, следовательно исходное предположение неверно, и медиана к одной стороне треугольника не может равняться полусумме двух других его сторон.

    • Автор:

      patricio
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years