Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 90 градусов. Решение поподробнее пожалуйста.

Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: L=π*r*n/180°.В нашем случае n=90°, L=π*r/2. Заметим, что в этой формуле r = l - образующая конуса, а  L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим поформуле: L=2π*R или в нашем случае π*r/2=2π*R, отсюда R=π*r/(2*2π)=r/4.Теперь рассмотрим осевое сечение конуса.Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса.Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника.В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношениюпротиволежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/4)/r=1/4.Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса).По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2)  найдем искомый угол α. Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/16)=√15/4.Sinα=2*(1/4)*(√15/4)=√15/8.Ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(√15/8).α≈29°Можно найти угол при вершине по теореме косинусов:Cosα=(a²+b²-c²)/2ab, где угол α - угол между сторонами a и b.В нашем случае a=b=r, c=2R=r/2.Тогда Cosα=(2r²-r²/4)/2r²=7r²/8r²=0,875. α=arccos0,875 или α≈29°.