в выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали.Известно,что площади треугольников ABD,ACD,BCD равны.Докажите,что данный четырехугольник является параллелограммом?

Рассмотрим треугольники ABD  и ACD. Проведем высоты ВН и СК.Sabd = AD·BH/2Sacd = AD·CK/2Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: AD·BH/2 = AD·CK/2 ⇒ ВН = СК.Но ВН ║ СК как перпендикуляры к одной прямой. Тогда НВСК - прямоугольник и, значит, НК ║ ВС, азначит, AD ║ BC.Рассмотрим треугольники ACD и BCD.Проведем высоты АЕ и ВТ к стороне CD.Sacd = CD·AE/2Sbcd = CD·BT/2Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:CD·AE/2 = CD·BT/2 ⇒ AE = BT.Но АЕ ║ ВТ как перпендикуляры к одной прямой. Тогда ЕАВТ - прямоугольник и, значит, ЕТ ║ АВ, азначит, СD ║ АВ. AD ║ BC, СD ║ АВ, значит ABCD - параллелограмм по определению.