докажите опытным путем, что в данной пробирке содержится глицерин

Хех, легко!

Можно сделать комплекс с гидроксидом меди

2CH2(OH)-CH(OH)-CH2(OH) + Cu(OH2) -> CH2(OH)-CH(OH)-CH2-O-Cu-O-CH2-(OH)CH-(OH)CH2 + H2O

Это яркая окраска.

Есть грустный и слезливый способ.

HOCH2CH(OH)CH2OH  - >H2C=CH-CH=O + 2H2O

Образуется акролеин - слезоточивая и раздражающая летучая жидкость.

А можно что-нибудь формилировать по Даффу в содержимом пробирке и попробовать получить бисульфитный аддукт.