Число из трех цифр отняли от числа, которое складывается с тех самых цифр, размещенных в обратном порядке. Результат складывается из тех самых цифр, размещенных опять по другому. Найди и запиши эти числа.

Обозначим уменьшаемое как abc. Тогда нужное нам число - это cba, где c, a, b = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

По условию, abc - cba = xyz (*), где x, y, z = {a,b,c}. Заметим, что abc - cba > 0, и, следовательно, a > c, т.е. c < 9 (**)

Из (*) получим уравнения для вычитаний из младшего, среднего и старшего разрядов соответственно (A):

10 + c - a = z (заняли "1" из среднего разряда) (A.1)

10 + (b - 1) - b = 9 при любом b (заняли "1" из старшего разряда)

a - 1 - c = x (A.2)

Уравнение (*) приобретает вид:

abc - cba = x9z (***)

Но y = 9 не может быть цифрой c, поскольку c < 9 согласно (**). Следовательно, возможными комбинациями x,z будут: (x,z) = {(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)}.

Рассмотрим систему уравнений (A) для всех возможных случаев:

1: x = a или b, z = c.

(A.1): 10 + c - a = c => a = 10 - противоречие (должно быть a < 10).

2: x = c, z = a.

(A.1), (A.2): 10 + c - a = a, a - 1 - c = c => 10 + c = 2*(2c + 1), a = 2c + 1 => 8 = 3c, a = 2c + 1 => c = 8/3 - противоречие (c должно быть целым числом).

3: x = c, z = b.

(A.1), (A.2): 10 + c - a = b, a - 1 - c = c => 10 + c - (2c + 1) = b, a = 2c + 1 => 9 - c = b, a = 2c + 1 => Для всех возможных c: c = {0,1,2,3,4} получим соответствующие им значения a и b. (a,b,c) = {(1,9,0),(3,8,1),(5,7,2),(7,6,3),(9,5,4)}. Подстановкой в (***) получим единственно возможное решение: (a,b,c) = (9,5,4), т.е a = 9, b = 5, c = 4.

Итак, нужное нам число это cba = 459, другие два - 954 и 495 соответственно.

Проверка: 954 - 459 = 495.