Проволока длиной 1 метр должна быть поделена на 2 части. Из первой части сделают круг, из второй квадрат. Какую длину должны иметь первая и вторая часть проволоки, чтобы сумма площадей круга и квадрата была максимальной?

Поправка: есть небольшая ошибка в решении (на ответ это не повлияло). Два места надо исправить- площадь квадрата: там не x², а (1/16)x². И в суммарной площади это надо исправить- и получится (1/16 + 1/4π)x² - 12,5x + 625. Но точки для графика посчитаны правильно- их я считал по начальным выражениям, до их упрощения, поэтому там ошибки нет.

Можно решать графически, нарисовав график зависимости суммарной площади от периметра одной из фигур (например, круга).Периметр фигуры- это и есть длина куска проволоки, взятой для изготовления этой фигуры. Длину для удобства будем выражать в сантиметрах (т.е. длина проволоки будет 100см).Обозначим периметр круга как x (икс)Тогда периметр квадрата будет равен оставшемуся куску проволоки, то есть:  100-xПериметр круга равен два пи, умножить на радиус ( ).Отсюда, радиус равен:  Площадь круга равна пи умножить на радиус в квадрате:  Периметр квадрата равен четырём его сторонам ( ).Отсюда, сторона равна:  Площадь квадрата равна:  Теперь, запишем чему равна сумма площадей круга и квадрата:Как видим, получилось уравнение параболы, у которой ветви направлены вверх (так как коэффициент при икс квадрат- положительный).Если поразмыслить, то мы поймём, что у такой параболы максимальное значение y  для любого отрезка по x будет на одном из концов этого отрезка (на том, который дальше от вершины параболы).Подтвердим это, построив график функции Для начала, вычислим несколько значений функции при разных икс: x    y0    795,810    650,820    534,330    446,240    386,550    355,260    352,370    377,980    431,890    514,2100    625,0Затем, по этим точкам построим график (смотри приложенный рисунок).По графику видно, что максимальное значение суммарной площади получается при x=100 (хотя, это видно и без графика, по вычисленным значениям функции).Значит, длина первой части проволоки (для изготовления круга) нужна 100 сантиметров (т.е. 1 метр), а длина второй части- для квадрата получится равной:  100-x = 100-100 = 0см.То есть максимальная площадь получится, если квадрат вообще не делать, а всю проволоку пустить на изготовление круга.