Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий ,каждая из которых состоит из натуральных чисел.всегда ли можно указать натуральное число , которое не содержится ни в одном из этих прогрессий?

Я там немного намудрил. с первым элементом, он ведь тоже должен быть целым. Тогда там все еще проще.

Можно так: знаменатели этих прогрессий - натуральные числа большие 1, иначе не все их элементы были натуральными числами или прогрессии не были бы бесконечными. Поэтому все элементы этих прогрессий, кроме быть может первых (и, в случае, если прогрессия начиналась с 1 - вторых), - составные числа (т.к. любой элемент имеет вид aq^n). Поэтому любое простое число отличное от первых и вторых элементов прогрессий не принадлежит ни одной из них.

безупречно:)

Да конечно. Первый элемент каждой такой прогрессии должен быть рациональным числом и их знаменатель кажой прогрессии  обязан быть натуральным числом большим 1 (иначе они не состояли целиком из натуральных чисел или не были бы бесконечными). Это значит, что с некоторого номера каждый элемент прогрессии делится на ее знаменатель, т.е. является составным числом. Поэтому если взять достаточно большое простое число  (а это можно сделать, т.к. простых бесконечно много), то оно и будет искомым.