Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12345 см кв

Такого прямоугольника нет, например, если умножить 110*111=12210 см кв., если умножить 111*112=12432 см. кв. Число 12345 попадает в этот промежуток площадей, данное значение невозможно получить из натуральных чисел с разницей в единицу..

Доказать это можно так, приняв одну из сторон за Х:

Х(Х+1)=12345

Решаем квадратное уравнение Х^2+Х-12345=0, находим дискриминант

Д=49381 (Корень из данного значения выделить в натуральном выражении невозможно. С округлением - это  222,218. Следовательно, и корни квадр. уравнения не будут натуральными числами.).Можно вычислить корни только с приближением (округлением):

Х1=(-1+222,218)/2= 110,61 или Х2=(-1-222,218)/2=-111,61