Можно ли расставить числа от 1 до 2016 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Да, можно. Для этого нужно сначала составить обычный круг из чисел от одного до 1008, идущих по порядку. Затем нужно вставлять последовательно оставшиеся числа в промежутки между числами первого круга, т.е. 1009 между 1 и 2, 1010 между 2 и 3, 1011 между 3 и 4 и т.д. В таком случае каждое число будет делиться на разность чисел, которая равна 1 (во всяком случае должна быть равна, если верить моим размышлениям).