Даны положительные числа a, b, c такие, что a^2 =11, b^2 =13, c^2 =48. Разрешается

Даны положительные числа a, b, c такие, что
a^2 =11,
b^2 =13,
c^2 =48.
Разрешается использовать только операции сложения, вычитания и
умножения, запоминать любое количество промежуточных результатов и
сравнивать их с нулем. Можно ли с помощью этих действий проверить
равенство a + b = c ?
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  alf
- 6 лет назад

Ответы 1

Ответ: да, можно.Предположим, что a + b = c. Возведём это равенство в квадрат: $(a+b)^2=c^2$ $2ab=c^2-a^2-b^2$ - ещё раз возводим в квадрат: $4a^2b^2=(c^2-a^2-b^2)^2$ $4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2=0$ Выполнение этого равенства необходимо (не факт, что достаточно!) для того, чтобы выполнилось a + b = c, при этом его можно проверить при помощи указанных операций (первое слагаемое, например, представимо в виде $(a^2 + a^2)(b^2 + b^2)$ , а второе слагаемое и разность получаются тривиально).Проверим на наших числах: $4 \cdot11\cdot13-(48-11-13)^2=-4e0$ , поэтому a, b, c гарантированно не удовлетворяют указанному равенству.__________________________________Попробуем понять, достаточно ли выведенное условие, т.е. может ли случиться так, что для каких-то положительных $a$ , $b$ , $c$ выполняется $4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2=0$ но $a+be c$ . Решаем уравнение: $4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2=0$ $(c^2-(a^2-2ab+b^2))(c^2-(a^2+2ab+b)^2))=0$ $(c^2-(a+b)^2)(c^2-(a-b)^2)=0$ $(c-(a+b))(c-(a-b))(c-(b-a))(c+(a+b))=0$ Итак, выведенное уравнение выполняется при $c=\pm a\pm b$ (знаки выбираются независимо). Кроме нужного случая добавляются ещё 3 возможных решения, при этом два из них отсекаются при условии положительности чисел, остаётся только две возможности:1) $c=a+b$ 2) $c=|a-b|$ Если выполняется условие $c>a$ , $c>b$ , то реализуется первый случай, иначе - второй.Итак, выведенное условие необходимо и достаточно в том случае, если $c^2$ - максимальное из трёх чисел.
- Автор:
  allywhite
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ