Длины ребер AB AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12 16 и 15 найдите расстояние от вершины А1 до прямой BD1

Можно было проще решить эту задачу (надо было в задании указать метод решения- векторный или геометрический).

В геометрическом методе надо рассмотреть треугольник А1ВД1 и по формуле высоты h=V(p(p-a(p-b)(p-c)/a) находим h= h=12/

Введём параллелепипед ABCDA1B1C1D1 в прямоугольную систему координат OXYZ. Ноль в точке В, ось ОХ по ребру 

ВА, ось ОУ по ребру ВС.

Прямая ВД1 задана двумя точками:

В(0,  0,  0).

Д1(12,  15,  16).

Задана точка А1(12,  0,  16).

Проекция точки А1 на прямую AB имеет координаты K(xk, yk, zk)

xk = 4800 / 625 = 192 / 25 = 7,68.

yk = 6000 / 625 = 48 / 5 = 9,6.

zk = 6400 / 625 = 256 / 25 = 10,24.

 |А1K| = √(56250000) / 625 = 12.

 Это расстояние было найдено по формуле:

|А1K| = √((xm-xs)*(xm-xs)+(ym-ys)*(ym-ys)+(zm-zs)*(zm-zs)).

 Координаты векторов ВД1, ВA1 равны:

ВД1 = (12,  15,  16),

ВA1 = (12,  0,  16).

 Координаты векторного произведения ВД1 и ВA1:

[ВД1х ВA1] = (240,  0,  -180).

 Модуль векторного произведения ВД1 и ВA1:

|[ ВД1х ВA1]| = √(90000) = 300.

 Длина отрезка ВД1,

| ВД1| = √(625)= 25.

 Расстояние от точки А1 до прямой ВД1 вычисляется по формуле

|А1K| = |[ ВД1х ВA1]| / |ВД1|.

 |А1K| = √(90000 / 625) = √144 = 12.

 Ответ:

Координаты проекции точки А1 на прямую ВД1:

K(192 / 25; 48 / 5; 256 / 25).

 Расстояние от точки А1 до прямой ВД1:

 |А1K| = 12.