Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
    [tex]y' - y * tgx = \frac{1}{cosx}[/tex]
    При x = 0, y = 0

Ответы 1

  • Домножим всё на    \cos{x} \ y' \cos{x} - y \sin{x} = 1 \ ; Решим соответствующее однородное дифф.уравнение: y' \cos{x} - y \sin{x} = 0 \ ; \frac{dy}{dx} \cos{x} = y \sin{x} \ ; \frac{dy}{y} = tg{x} dx \ ; \int{ \frac{dy}{y} } = \int{ \frac{ \sin{x} \cdot dx }{ \cos{x} } } \ ; \ln{ | y | } = - \int{ \frac{ d \cos{x} }{ \cos{x} } } \ ; \ln{ | y | } = - \ln{ | \cos{x} | } + C_1 \ ; \ln{ | y | } = \ln{ | \frac{ C }{ \cos{x} } | } \ ; | y | = | \frac{ C }{ \cos{x} } | \ ; y = \frac{ C }{ \cos{x} } \ ; Если заменить константу C функцией f(x), то решение примет вид: y = \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \ ; y' = \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos^2{x} } \ ; Подставим эти выражения в исходное: \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos^2{x} } \cdot \cos{x} - \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \cdot \sin{x} = 1 \ ; \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos{x} } - \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \cdot \sin{x} = 1 \ ; \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} - f(x) \sin{x} }{ \cos{x} } = 1 \ ; \frac{ f'(x) \cos{x} }{ \cos{x} } = 1 \ ; f'(x) = 1 \ ; f(x) = x + C \ ; Окончательное общее решение: y = \frac{ x + C }{ \cos{x} } \ ; Наложим на решение начальные словия:   ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) \ : 0 = \frac{ 0 + C }{ \cos{0} } \ ; 0 = 0 + C \ ; C = 0 \ ; Частное решение: y = \frac{x}{ \cos{x} } \ ; О т в е т :    y = \frac{x}{ \cos{x} } \ .

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years